Exercise : 1.3 -Maths-Class X-NCERT SOLUTIONS - Real Numbers (অনুশীলনীঃ 1.3- বাস্তৱ সংখ্যা - দশম শ্ৰেণী- সাধাৰণ গণিত )

অনুশীলনীঃ 1.3

1. দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয় ৷

সমাধানঃ 

ধৰাহ'ল , বিৰুদ্ধভাৱে √5 পৰিমেয়  ৷

∴  p/q = √5 , য'ত p আৰু q সহমৌলিক আৰু q ≠ 0 

=> (p/q)² = (√5)²  [ দুয়োপক্ষক বৰ্গ কৰা হ'ল ]

=> p²/q² = 5 

=> p² = 5q² --------> (i) 

গতিকে , 5 য়ে p² ক ভাগ কৰিব আৰু উপপাদ্য অনুসৰি 5 য়ে p ক ভাগ কৰিব ৷ 

আকৌ, ধৰাহ'ল p = 5a তেন্তে ( য'ত a স্বাভাৱিক সংখ্যা )

(p)² = (5a)²   [ দুয়োপক্ষক বৰ্গ কৰা হ'ল ]

=> p² = 25a²

=> 5q² = 25a² [ (i) ৰ পৰা ]

=> q² = 25a²/5

=> q² = 5a²

গতিকে , 5 য়ে q² ক ভাগ কৰিব আৰু উপপাদ্য অনুসৰি 5 য়ে q ক ভাগ কৰিব ৷ 

গতিকে p আৰু qৰ অন্ততঃ এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে ৷ কিন্তু ই ' p আৰু q সহমৌলিক ' এই ধাৰ্য সত্যটোক বিৰোধ কৰে ৷ এই বিৰুদ্ধ ফল ওলোৱাৰ কাৰণ হ'ল যে ' √5 পৰিমেয় ' বুলি ধৰা আমাৰ এই কথাটো অশুদ্ধ ৷ গতিকে √5 অপিৰেময় ৷ 

2. দেখুওৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয় ৷

সমাধানঃ 

বিৰুদ্ধভাৱে ধৰাহ'ল , 3 + 2√5 পৰিমেয় ৷

∴  3 + 2√5 = p/q , য'ত p আৰু q সহমৌলিক আৰু q ≠ 0 

=>  2√5 = p/q - 3

=>  2√5 = p - 3q/q

=>  √5 = p - 3q/2q 

যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু p - 3q/2q পৰিমেয় , সেয়ে √5 পৰিমেয় ৷ 

কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয় ' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে ৷ এই বিৰুদ্ধ ফলৰ কাৰণ হ'ল যে আমাৰ ধাৰ্য্য’ 3 + 2√5 পৰিমেয় ৷ গতিকে 3 + 2√5 অপৰিমেয় ৷ 

3. দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়ঃ

(i) 1/√2

(ii) 7√5

(iii) 6 + √2

সমাধানঃ 

(i) 1/√2 

বিৰুদ্ধভাৱে ধৰাহ'ল , 1/√2 পৰিমেয় ৷

∴  1/√2 = p/q , য'ত p আৰু q সহমৌলিক আৰু q ≠ 0 

=>  p√2 = q

=> √2  = q/p

যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু p - 3q/2q পৰিমেয় , সেয়ে √2 পৰিমেয় ৷ 

কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয় ' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে ৷ এই বিৰুদ্ধ ফলৰ কাৰণ হ'ল যে আমাৰ ধাৰ্য্য’ 1/√2 পৰিমেয় ৷ গতিকে 1/√2 অপৰিমেয় ৷ 

(ii) 7√5

বিৰুদ্ধভাৱে ধৰাহ'ল , 7√5 পৰিমেয় ৷

∴  7√5 = p/q , য'ত p আৰু q সহমৌলিক আৰু q ≠ 0 

=>  √5 = p/7q

যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু p/7q পৰিমেয় , সেয়ে √5 পৰিমেয় ৷ 

কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয় ' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে ৷ এই বিৰুদ্ধ ফলৰ কাৰণ হ'ল যে আমাৰ ধাৰ্য্য’ 7√5 পৰিমেয় ৷ গতিকে 7√5 অপৰিমেয় ৷ 

(iii) 6 + √2

বিৰুদ্ধভাৱে ধৰাহ'ল , 6 + √2 পৰিমেয় ৷

∴  6 + √2 = p/q , য'ত p আৰু q সহমৌলিক আৰু q ≠ 0 

=>  √2 = p/q - 6

=> √2  = p - 6q/q

যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু  p - 6q/q পৰিমেয় , সেয়ে √2 পৰিমেয় ৷ 

কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয় ' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে ৷ এই বিৰুদ্ধ ফলৰ কাৰণ হ'ল যে আমাৰ ধাৰ্য্য’ 6 + √2 পৰিমেয় ৷ গতিকে 6 + √2 অপৰিমেয় ৷