1. সংহতি A = {x : x 𝟄 N আৰু x ≤ 10 } আৰু Φ ৰ বাবে তলত দিয়াবিলাক নিৰ্ণয় কৰা
(a) n( A) আৰু n (Φ)
(b) n ( A ∪ Φ ) আৰু n ( A ∩ Φ)
সমাধানঃ ইয়াত , সংহতি A = {x : x 𝟄 N আৰু x ≤ 10 }
∴ A = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
(a) n(A) = 10 , n (Φ) = 0
(b) n ( A ∪ Φ ) = 10 , n ( A ∩ Φ) = 0
2. ধৰাহ'ল A আৰু B দুটা সংহতি আৰু U সিহঁতৰ সাৰ্বিক সংহতি ৷ যদি n(U) = 120 , n(A) = 42 , n(B) = 50 , আৰু n(A ∩ B) = 21 , তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা -
(i) n(A ∪ B ) , n(A - B) , n(B - A) আৰু n (A' ∩ B ')
(ii) n( B') , n(A'), n( A U B)'
(iii) n( P ∪ Q) আৰু n(P ∩ Q ) , যদি P = A - B , Q = A ∩ B
(iv) U - ( A ∪ B ) সংহতিটোত কিমান মৌল আছে ?
সমাধানঃ ইয়াত, n(U) = 120 , n(A) = 42 , n(B) = 50 , আৰু n(A ∩ B) = 21
(i) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 42 + 50 - 21
= 92 - 21
= 71
n(A−B)=n(A)−n(A∩B)
= 42 - 21
= 21
n(B−A)=n(B)−n(A∩B)
= 50 - 21
= 29
n (A' ∩ B ') = n( A ∪ B) '
= n(U) - n( A ∪ B)
= 120 - 71
= 49
(ii) n( B') = n(U) - n(B)
= 120 - 50
= 70
n(A') = n(U) - n(A)
= 120 - 42
= 78
n( A U B)' = n(U) - n( A U B)
= 120 - 71
= 49
(iii) n( P ∪ Q) = n(P) + n(Q) - n(P ∩ Q)
= n( A - B) + n( A ∩ B) - n{( A - B)∩( A ∩ B)}
= 21 + 21 - 0
= 42
আৰু n(P ∩ Q ) = n(P) + n(Q) - n(P ∪ Q)
= n( A - B) + n( A ∩ B) - 42
= 21 + 21 - 42
= 0
(iv) U - ( A U B) = 120 - 71 = 49
3. যদি ( A ∩ B) = 36 , n( A - B) = 25 , n( B - A) = 20 তেন্তে n( A U B) , n(A) আৰু n(B) উলিওৱা ৷
সমাধানঃ ইয়াত, ( A ∩ B) = 36 , n( A - B) = 25 , n( B - A) = 20
n(A−B)=n(A)−n(A∩B)
=> 25 = n(A) - 36
=> 25 + 36 = n(A)
=> n(A) = 61
n(B−A)=n(B)−n(A∩B)
=> 20 = n(B) - 36
=> 20 + 36 = n(B)
=> n(B) =56
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 61 + 56 - 36
= 117 - 36
= 81
4. ওপৰৰ 3 নং প্ৰশ্নটোৰ সাপেক্ষে ভেনচিত্ৰ আঁকি A ∩ B, A - B আৰু B - A সংহতি কেইটা চিহ্নিত কৰা আৰু তাৰ সহায়ত ইতিমধ্য পোৱা উত্তৰৰ সত্যাপন কৰা ৷
সমাধানঃ 
5. এটা শ্ৰেণীত পতা গণিত আৰু ইংৰাজী পৰীক্ষাৰ পৰা দেখা গ'ল যে 55 জন শিক্ষার্থীয়ে
গণিতত, 46 জন শিক্ষার্থীয়ে ইংৰাজীত আৰু 35 জন শিক্ষার্থীয়ে গণিত আৰু ইংৰাজী
উভয়তে উত্তীৰ্ণ হৈছে। যদি পৰীক্ষাত অৱতীৰ্ণ হােৱা শিক্ষার্থী সংখ্যা 100 তেনে তলত
দিয়া কেইটা নির্ণয় কৰা—
(i) দুয়ােটা বিষয়তে অনুত্তীর্ণ শিক্ষার্থীৰ শতকৰা হাৰ
(ii) একমাত্র গণিতত উত্তীর্ণ হােৱা শিক্ষার্থীৰ শতকৰা হাৰ
(iii) একমাত্র ইংৰাজীত উত্তীর্ণ হােৱা শিক্ষার্থীৰ শতকৰা হাৰ
সমাধানঃ ধৰাহ'ল , গণিতত পাছ কৰা ছাত্ৰৰ সংহতি M আৰু ইংৰাজীত পাছ কৰা ছাত্ৰৰ সংহতি E
n(M) = 55 , n(E) = 46 , n( M ∩ E ) = 35 , n(U) = 100
(i) n( M' ∩ B') = n (M U B)'
= n(U) - n( M U B )
= n(U) - [n(M) + n(B) - n (M ∩ B)]
= 100 - [55 + 46 - 35]
= 100 - 66
= 34%
(ii) n( M - E ) = n(M) - n( M ∩ E)
= 55 - 35
= 20%
(iii) n( E - M) = n(E) - n ( M ∩ E )
= 46 -35
= 11%
6. এখন স্কুলৰ 550 গৰাকী শিক্ষার্থীৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পােৱা গ'ল যে 175
গৰাকীয়ে গাখীৰ, 300 গৰাকীয়ে চাহ আৰু 110,গৰাকীয়ে গাখীৰ আৰু চাহ দুয়ােটাই খায়।
গাখীৰ আৰু চাহৰ কোনাে এটাও নােখােৱা শিক্ষার্থী সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, গাখীৰ খোৱা ছাত্ৰৰ সংহতি M আৰু চাহ খোৱা ছাত্ৰৰ সংহতি T
n(M) = 175 , n(T) = 300 , n( M ∩ T ) = 110 , n(U) = 550
n ( M ' ∩ T ' ) = n ( M U T )'
= n(U) - n ( M U T )
= 550 - [n(M) + n(T) - n( M ∩ T)]
= 550 - [175 + 300 -110]
= 550 - 365
= 185
7. অসমত থকা কেন্দ্রীয় চৰকাৰৰ অধীনস্থ কার্যালয় এটাৰ চাকৰিয়ালৰ মাজত কৰা এটা
জৰীপৰ পৰা পােৱা গ'ল যে তেওঁলােকৰ 80 জনে অসমীয়া, 70 জনে ইংৰাজী আৰু 50
জনে অসমীয়া আৰু ইংৰাজী দুয়ােটাই কব পাৰে। জৰীপটোত অংশ লােৱা প্ৰতিজন চাকৰিয়ালেই যদি অসমীয়া অথবা ইংৰাজী অথবা এই দুয়ােটা ভাষাই কব পাৰে তেন্তে
তলত দিয়া কেইটা নির্ণয় কৰা -
(i) জৰীপটোত অংশ লােৱা মুঠ চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা কিমান ?
(ii) তেওঁলােকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ অসমীয়াহে ক'ব পাৰে?
iii) তেওঁলােকৰ কিমানজনে একমাত্র ইংৰাজীহে ক'ব পাৰে?
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, অসমীয়া কোৱা লোকৰ সংহতি A আৰু ইংৰাজী কোৱা লোকৰ সংহতি E
n(A) = 80 , n (E) = 70 , n ( A ∩ E ) = 50
(i) n(A U E) = n(A) + n (E) - n( A ∩ E )
= 80 + 70 - 50
= 150 - 50
= 100
(ii) n(A - E) = n (A) - n ( A ∩ E )
= 80 -50
= 30
(iii) n ( E -A ) = n(E) - n ( A ∩ E )
= 70 - 50
= 20
8. 250 জন সদস্য থকা এটা ক্লাবৰ 130) জনে চাহ খায় আৰু 85 জনে কফি নেখায় কিন্তু
চাহহে খায়। যদি সদস্যসকলৰ প্ৰতিজনেই চাহ আৰু কফিৰ ভিতৰত অতি কমেও কোনাে
এবিধ পানীয় সেৱন কৰে তেন্তে-
(1) কিমান জন সদস্যই কফি খায় ?
(i) কিমান জনে চাহ নেখায় কিন্তু কফিহে খায়?
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, চাহ খোৱা লোকৰ সংহতি T আৰু কফি খোৱা লোকৰ সংহতি C
n(U) = 250 , n (T) = 130 , n(T - C ) = 85
(i) n ( T - C) = n( T) - n( T ∩ C )
=> 85 = 130 - n( T ∩ C)
=> 85 - 130 = - n( T ∩ C)
=> -45 = -n( T ∩ C)
=> n( T ∩ C) = 45
(ii) n ( T U C ) = n(T) + n ( C) - n ( T ∩ C )
=> 250 = 130 + n(c) - 45
=> 250 = 84 + n(C)
=> 250 - 84 = n(C)
=> n(C) = 165
গতিকে ,
n(C - T ) = n(C) - n ( T ∩ C )
= 165 - 45
= 120
9. 90 জন ছাত্র থকা এটা শ্ৰেণীৰ 60 জনে ভলীবল, 53 জনে বেডমিণ্টন আৰু 35 জনে এই
দুয়ােটা খেলেই খেলে। তলত দিয়া কেইটা নির্ণয় কৰা
(i) কিমান জনে এই দুয়ােটা খেলৰ কোনাে এটা খেলাে নেখেলে?
(ii) কিমানজনে মাত্র বেডমিন্টন খেলে, কিন্তু ভলীবল নেখেলে?
(iii) কিমানজনে মাত্র ভলীবল খেলে, কিন্তু বেডমিন্টন নেখেলে ?
(iv) কিমানজনে এই দুয়ােটাৰ অতি কমেও এটা খেল হ'লেও খেলে?
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, ভলীবল খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি V বেডমিণ্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি B.
n(U) = 90 , n(V) = 60 , n(B) = 53 , n(V ∩ B ) = 35
(i) n ( V' ∩ B' ) = n(U) - n ( V U B )
= 90 -78 [ (iv) ৰ পৰা ]
= 12
(ii) n ( B - V ) = n (B) - n ( B ∩ V )
= 53 - 35
= 18
(iii) n ( V - B ) = n ( V) - n ( V ∩ B )
= 60 -35
= 25
(iv) n( V U B) = n (V) + n (B) - n ( V ∩ B )
= 60 + 53 - 35
= 113 - 35
= 78
10. এখন নগৰৰ 1500 পৰিয়ালৰ মাজত চলােৱা এটা পিয়লৰ পৰা জনা গৈছে যে তাৰে 1263
পৰিয়ালত টিভি, 639 পৰিয়ালত ৰেডিঅ’ আৰু 197 পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডিঅ'ৰ
কোনােটোৱেই নাই। সেই নগৰখনৰ
(i) কিমান পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়ােটাই আছে?
(ii) কিমান পৰিয়ালত মাত্র টিভিহে আছে, কিন্তু ৰেডিঅ’ নাই?
(iii) কিমান পৰিয়ালত মাত্র ৰেডিঅ হে আছে, কিন্তু টিভি নাই?
[ইংগিতঃ তলত দিয়া সূত্ৰৰ সহায়ত ছাত্র-ছাত্রীসকলে এই প্রশ্নটোৰ সমাধান পাব পাৰে
n(T'∩R') = n(U) – (TUR)'
বা n(TUR)' = n(U) – {(T) + n(R) – n(T∩R)}.
ইয়াত T = টিভি থকা পৰিয়ালৰ সংহতি
R = ৰেডিঅ’ থকা পৰিয়ালৰ সংহতি
টোকাঃ ছাত্র-ছাত্রীসকলে তলৰ ভেনচিত্ৰৰ সহায়ত প্রশ্নটোৰ উত্তৰৰ সত্যাপন কৰি চাব পাৰে—
সমাধানঃ ধৰাহ'ল TV থকা পৰিয়ালৰ সংহতি T আৰু Radio থকা পৰিয়ালৰ সংহতি R
U = 1500 , n(T) = 1263 , n (R) = 639 , n ( T ∩ R ) = 197
(i) n( T U R ) = n ( T ) + n (R) - n ( T ∩ R )
= 1263 + 639 - 197
= 1705
(ii) n ( T - R ) = n(T) - n ( T ∩ R )
= 1260 - 639
= 624
(iii) n ( R - T ) = n(R) - n (T ∩ R )
= 639 - 197
= 442
11. এটা শ্ৰেণীৰ 180 গৰাকী শিক্ষার্থীৰ ভিতৰত 76 গৰাকীয়ে গণিত, 81 গৰাকীয়ে পদার্থবিজ্ঞান
আৰু 80 গৰাকীয়ে ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে। তদুপৰি 34 গৰাকীয়ে গণিত আৰু
পদার্থবিজ্ঞান দুয়ােটাই, 30 গৰাকীয়ে গণিত আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়ােটাই, 33 গৰাকীয়ে
পদার্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়ােটাই অধ্যয়ন কৰে। যদি 18 গৰাকীয়ে এই তিনিওটা
বিষয়েই অধ্যয়ন কৰে তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নির্ণয় কৰা—
(i) কিমান গৰাকী শিক্ষার্থীয়ে একমাত্র পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে?
(ii)কিমান গৰাকী শিক্ষার্থীয়ে একমাত্র ৰসায়নবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে?
(iii) কিমান গৰাকী শিক্ষার্থীয়ে একমাত্র গণিত অধ্যয়ন কৰে?
(iv) কিমান গৰাকীয়ে গণিত আৰু পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান
অধ্যয়ন নকৰে?
(v) কিমান গৰাকীয়ে পদার্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু গণিত
অধ্যয়ন নকৰে?
(vi) কিমান গৰাকীয়ে ৰসায়নবিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু পদার্থ বিজ্ঞান
অধ্যয়ন নকৰে?
(vi) কিমানজন শিক্ষার্থীয়ে এই তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰে?
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, U = শ্ৰেণীটোৰ সকলো শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি
M = গণিত অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি
P= পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি
C = ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি
∴ n(U) = 180 , n(M) = 76 , n(P) = 81 , n(C) = 80 , n( P ∩ M) = 34 , n ( M ∩ C ) = 30 , n(P ∩ C)= 33 আৰু n(M ∩ P ∩ C) = 18
এতিয়া ,
(i) একমাত্র পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰেঃ
n( P ∩ M' ∩ C' )
= n[ P ∩ (M U C)']
= n(P) - n[ (P ∩ M) U ( M ∩ C ) ]
= n(P) - [ n( P ∩ M ) + n( P ∩ C ) - n ( P ∩ M ∩ C )
= 81 - [ 34 + 33 - 18 ]
= 81 - 49
= 32
(ii) একমাত্র ৰসায়নবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰেঃ
n(M' ∩ P' ∩ C)
= n[ ( M U P )' ∩ C ]
= n(C) - n[ ( M U P ) ∩ C ]
= n(C) - n[( M ∩ C ) U ( P ∩ C) ]
= n(C) - [n( M ∩ C ) + n( P ∩ C ) - n( M ∩ P ∩ C )]
= 80 - ( 30 + 33 - 18 )
= 80 - 45
= 35
(iii) একমাত্র গণিত অধ্যয়ন কৰেঃ
n( M ∩ P' ∩ C' )
= n[ M ∩ ( P ∩ C )' ]
= n(M) - n[ M ∩ ( P U C )]
= n(M) - N[ (M ∩ P ) U ( M ∩ C ) ]
= n(M) - [n( M ∩ P ) + n ( M ∩ C) - n ( M ∩ P ∩ C ) ]
= 76 - ( 34 + 30 -18 )
= 76 -46
= 30
(iv) গণিত আৰু পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান
অধ্যয়ন নকৰেঃ
n( M ∩ P ∩ C' )
= n( M ∩ P ) - n ( M ∩ P ∩ C )
= 34 -18
= 16
(v) পদার্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু গণিত
অধ্যয়ন নকৰেঃ
n ( P ∩ C ∩ M' )
= n ( P ∩ C ) - n ( P ∩ C ∩ M )
= 33 - 18
= 15
(vi) ৰসায়নবিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু পদার্থ বিজ্ঞান
অধ্যয়ন নকৰেঃ
n ( C ∩ M ∩ P')
= n ( C ∩ M ) - n ( C ∩ M ∩ P )
= 30 -18
= 12
(vi) তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰেঃ
n( M' ∩ P' ∩ C' )
= n ( M U P U C )'
= n(U) - n ( M U P U C )
= 180 - [n (M) + n(P) + n(C) - n ( M ∩ P ) - n ( P ∩ C ) - n ( M ∩ C) + n ( M ∩ P ∩ C )]
= 180 - ( 76 + 81 + 80 -34 -33 -30 + 18 )
=180 - 158
= 22
Please don't use spam link in the comment box.