দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equations) NCERT Solution Maths X [ examples ]

দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic  Equations)

       1.       দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আৰ্দশ ঠাঁচটো লিখা ৷

উত্তৰ :  ax² + bx + c = 0 ,  য’ত a , b , c বাস্তৱ সংখ্যা আৰু  a ≠ 0 .

       2.       ধৰা এটা জনকল্যাণ ন্যাসে প্ৰাৰ্থনা সভাঘৰ বান্ধিবৰ সিদ্ধান্ত লৈছে , যাৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থৰ দুগুণতকৈ এক মিটাৰ বেছি আৰু মজিয়াৰ কালি 300 বৰ্গ মিটাৰ ৷ সভাঘৰটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ কিমান হ’ব ?

সমাধান : ধৰাহ’ল , মজিয়াৰ প্ৰস্থ x  মিটাৰ ৷

                        ∴       মজিয়াৰ দীঘ =  (45 - x )  মিটাৰ

 এতিয়া , মজিয়াৰ কালি = 300 বৰ্গ মিটাৰ

     =>দীঘ × প্ৰস্থ = 300

  => (45 – x ) x  = 300

=> 45x  -  x² = 300

=> 45x – x² -  300 = 0

=>  - x² + 45x - 300 = 0

=>  x² – 45x + 300 = 0

=>  x² – ( 20 + 15 ) x  + 300 = 0

=> x² – 20x – 15x + 300 = 0

=> x ( x – 20 ) – 15 ( x – 20) = 0

=> ( x – 20 ) ( x – 15 ) = 0

=> x – 20 = 0  বা  x – 15 = 0

=> x = 20    বা x = 15

গতিকে মজিয়াৰ দীঘ = 20 বা 15 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ 15 বা 20 মিটাৰ ৷

    3.       জন আৰু জিয়ন্তী দুয়োৰে 45 টা মাৰ্বল আছে ৷ তেওঁলোকৰ প্ৰত্যেকে 5 টাকৈ মাৰ্বল হেৰালে আৰু এতিয়া তেওঁলোকৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল 124 ৷ আমি উলিয়াব লাগে , আৰম্ভণিতে তেওঁলোকৰ কেইটাকৈ মাৰ্বল আছিল ৷

সমাধান : ধৰাহ’ল , জনৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা = x  টা

    ∴    জিয়ন্তীৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা = 45 – x  টা

5  টাকৈ মাৰ্বল হেৰোৱাৰ পাছত বাকী থাকিব –

 জন = ( x – 5 )  টা

জিয়ন্তী = ( 45 – x – 5 ) =  ( 40 – x ) টা

প্ৰশ্নমতে , হাতত ৰৈ যোৱা মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল = 124

=>( x – 5 ) ( 40 –  x ) = 124

=>x ( 40 – x ) – 5 ( 40 – x ) = 124

=>40x – x² – 200 + 5x = 124

=>45x –x² – 200 – 124 = 0

=>45x – x² – 324 = 0

=> - x²  + 45x – 324 = 0

=> x² – 45x + 324 = 0

=> x² – ( 36 + 9 )x + 324 = 0

=>x² – 36x – 9x + 324 = 0

=> x ( x – 36 ) – 9 ( x – 36 ) = 0

=>(x -36 ) ( x – 9 ) = 0

=> ( x -36) = 0  বা ( x – 9 ) = 0

=> x  = 36  বা    x  = 9 

গতিকে , জনৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা = 36  বা 9 টা 

জিয়ন্তীৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা =  9 বা 36  টা ৷    

      4.       এটা কুটিৰ শিল্পই এদিনত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক পুতলা তৈয়াৰ কৰে ৷ দেখা গ’ল প্ৰতিটো পুতলা উৎপাদনৰ খৰছ ( টকাত ) 55 বিয়োগ এদিনত উৎপাদিত পুতলৰা সংখ্যা ৷ এটা বিশেষ দিনত সমুদায় উৎপাদনৰ খৰচ আছিল 750 ৷ আমি নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সিদিনাখন উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা কিমান ৷

সমাধান : ধৰাহ’ল , এদিনত উৎপাদিত হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা =  x টা

∴   প্ৰতিটো পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ = 55 – x

প্ৰশ্নমতে , x ( 55 – x ) = 750

=>55x – x² = 750

=> - x² + 55x – 750 = 0

=> x² – 55x + 750 = 0

=>x² – ( 30 + 25 ) + 750 = 0

=> x² – 30x – 25x + 750 = 0

=> x ( x – 30 ) – 25 ( x – 30 ) = 0

=>  ( x – 30 ) ( x -25 ) = 0

=>  x – 30 = 0   বা   x – 25 = 0

=> x = 30           বা  x = 25

গতিকে , এদিনত উৎপাদিত হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা = 30 টা বা 25 টা ৷

       5.       তলৰবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে পৰীক্ষা কৰা ৷

(i)                  ( x – 2 )² + 1 = 2x – 3

(ii)                x ( x + 1 ) + 8 = ( x + 2 ) ( x – 2 )

(iii)               x ( 2x + 3 ) = X² + 1

(iv)              ( x + 2 ) ³ = x³ – 4   

সমাধান :

(i)                  ( x – 2 )² + 1 = 2x – 3

=>x² – 2.x.2  + 2² + 1 = 2x – 3

=>x² – 4x + 4 + 1 = 2x – 3

=> x² – 4x – 2x + 5 + 3 = 0

=> x² – 6x + 8 = 0

যিহেতু , প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ আৰ্হি ax² + bx + c = 0 হয় , গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ৷

(ii)                x ( x + 1 ) + 8 = ( x + 2 ) ( x – 2 )

=>x² + x + 8 =  x² - 2²

=> x + 8 = -4

যিহেতু , প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ আৰ্হি ax² + bx + c = 0  নহয় , গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় ৷

(iii)               x ( 2x + 3 ) = X² + 1

=>2x² + 3x = x²  + 1

=> 2x² – x² + 3x -1 = 0

=> x² + 3x – 1 = 0

যিহেতু , প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ আৰ্হি ax² + bx + c = 0 হয় , গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ৷

(iv)              ( x + 2 ) ³ = x³ – 4   

=>x³ + 3.x². 2  + 3.x.2² + 2³ = x³ – 4

=>6x² + 12x + 8 + 4 =  0

=>6x + 12x + 12 = 0

যিহেতু , প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ আৰ্হি ax² + bx + c = 0 হয় , গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ৷