Exercise : 1.1-Maths-Class X-NCERT SOLUTIONS - Real Numbers (অনুশীলনীঃ 1.1 - বাস্তৱ সংখ্যা- দশম শ্ৰেণী- সাধাৰণ গণিত )

                                    অনুশীলনী 1.1  ( পৃষ্টা  নং  8 )

1.       ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  গ.সা.উ.   উলিওৱা-

(i)                  135  আৰু 225      (ii)  196   আৰু  38220 (iii)  867  আৰু   255

সমাধান : ( i)   যিহেতু ,  225 >  135 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

225 = 135 ×  1  +  90

135 =   90  ×  1  + 45

90 =  45   ×   2  +  0  

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 135, 225) =  45

(ii)                যিহেতু ,  38220 >  196 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

38220 = 196 ×  195  +  0∴

যিহেতু , প্ৰথম  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 196, 38220) =  196

(iii)   যিহেতু ,  867 >  255 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

867 = 255 ×  3  +  102

255 =   102  ×  2  + 51

102 =  51   ×   2  +  0  

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 255, 867) =  51

(2)  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যাই  6q  + 1, বা 6q +3 ,

বা  6q  +  5  আৰ্হিৰ , য’ত  q  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷

সমাধান : ধৰাহ’ল  , a  যিকোনো  যুগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b= 6   .

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

a  =  6q + r  ,  য’ত  0 ≤ r < 6   ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷

∴  r =  0, 1 , 2, 3, 4, 5

এতিয়া , a = 6q + 0 =  6q   

বা a = 6q +1    ,

বা    a = 6q  +  2  ,

বা   a= 6q  +  3  ,

বা   a=  6q  +  4  ,

বা   a=  6q  +  5 

ইয়াত a=6q ,  6q+2  ,  6q  +4 , 2 ৰে বিভাজ্য    য’ত  a  আৰু  q  হৈছে  ক্ৰমে  অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা  আৰু  ভাগফল  ৷ কিন্তু  2  ৰে  বিভাজ্য  সংখ্যাবোৰ  যুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা হয় ৷

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ আৰ্হি  6q +1  ,  বা 6q+3 , বা  6q + 5  আৰ্হিৰ  য’ত q  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  প্ৰমাণিত

(3) 616  সদস্যৰ  এটা  সৈন্যবাহিনীৰ  গোটে  32  জনীয়া  এটা  সেনাদলৰ  পিছে  পিছে  কদম-খোজ কাঢ়ি  যাবলগীয়া  হ’ল ৷ দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  কি  হ’ব ?

সমাধান : যিহেতু,  দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  নিৰ্ণয় কৰিবলৈ  গ.সা.উ.  উলিয়াব  লাগিব ৷

ইয়াত , 616 > 32

∴    616 =  32  ×  19  +  8 

32  =  8  ×  4  +   0 

যিহেতু , দ্ধিতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 616, 32 ) =  8

গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা   8   .

(4) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ  বৰ্গই  হয়  3m  নাইবা 3m  + 1  আৰ্হিৰ,  য’ত  m  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  [ ইংগিত  : ধৰা  x   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা ৷ তেন্তে  ইয়াৰ  আৰ্হি  হ’ব  3q,  3q+1   বা  3q +2  .  এতিয়া  ইহঁতৰ  প্ৰতিটোকে  বৰ্গ  কৰা  আৰু  দেখুওৱা  যে  সিহঁতক  3m  বা  3m+1  আৰ্হিত  লিখিব  পাৰি  ৷

সমাধান  :  ধৰাহ’ল , x   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=6   

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –

x= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   

∴   r =  0 , 1 , 2

এতিয়া  ,  x=3q +  0  =  3q 

বা x = 3q  +  1 

বা x = 3q +  2 

গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –

(x)²=  (3q)²

              ⁼ 9q²

                ⁼   3 ( 3q²)

          = 3m  , য’ত m= 3q²

(x)² =(3q +1)²

       = (3q)²  + 2 .3q. 1. +  (1)²

   = 9q²  +  6q  +  1

       =   3(3q² + 2q)  +  1

       =  3m  +  1  ,   য’ত  m =  3q²  +  1

আৰু  (x)² = ( 3q  + 2 )²

                    =  (3q) ² +  2. 3q  . 2  +   (2) ²

                    =  9q²  +  12 q  +  4

                    = 9q²  +  12q  +  3  +  1

                     = 3 (3q² + 4q  + 1 ) + 1

                     =  3m  +  1   ,  য’ত  m= 3q²  + 4q  +  1

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ  আৰ্হি 3m  , বা  3m +  1  আৰ্হিৰ  য,ত  m  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷

(5) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড সংখ্যাৰ  ঘনফলটো 9m  ,  9m  +  1   নাইবা  9m +  8  আৰ্হিৰ  ৷

সমাধান :     :  ধৰাহ’ল , a   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=3   

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –

a= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   

∴   r =  0 , 1 , 2

এতিয়া  ,  a=3q +  0  =  3q 

বা a = 3q  +  1 

বা a = 3q +  2 

গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –

(a)²=  (3q)³

              ⁼ 27q³

                ⁼    9( 3q³)

          = 9m ,  য’ত  m = 3q³

(a)³ =(3q +1)³

       = (3q)³  + 3 .(3q)². 1. + 3. 3q .(1)² +   (1)³

   = 27q³  +  27q² +  9q  + 1

       =   9(3q³  + 3q + q ) + 1  

       =  9m  +  1  ,   য’ত  m =  3q³  +  3q  +  1

আৰু  (a)³ = ( 3q  + 2 )³

                    =  (3q)³ +  3. (3q)²  . 2  + 3.3q.(2)² +  (2)³

                    =  27q³  + 54 q²   +  36q  +  8

                    = 9(3q³ + 6q² +  4q) +  8

                     = 9m  +  8  ,  য’ত  m= 3q³ + 6q + 2q

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  আৰ্হি 9m  ,  9m +  1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ  য,ত  m  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷