বাস্তৱ সংখ্যা

                                    অনুশীলনী 1.1  ( পৃষ্টা  নং  8 )



1.       ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  গ.সা. উলিওৱা-
(i)                  135  আৰু 225      (ii)  196   আৰু  38220 (iii)  867  আৰু   255
সমাধান : ( i)   যিহেতু ,  225 >  135 
এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –
225 = 135 ×  1  +  90
135 =   90  ×  1  + 45
90 =  45   ×   2  +  0  
যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.. ( 135, 225) =  45
(ii)                যিহেতু ,  38220196 
এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –
38220 = 196 ×  195  +  0
যিহেতু , প্ৰথম  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.. ( 196, 38220) =  196
(iii)   যিহেতু ,  867255 
এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –
867 = 255 ×  3  +  102
255 =   102  ×  2  + 51
102 =  51   ×   2  +  0  
যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.. ( 255, 867) =  51
(2)  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যাই  6q  + 1, বা 6q +3 ,
বা  6q  +  5  আৰ্হিৰ , য’ত  q  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷
সমাধান : ধৰাহ’ল  , যিকোনো  যুগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b= 6   .
এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –
a  =  6q + r  ,  য’ত  0 ≤ r < 6   ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷
∴  r =  0, 1 , 2, 3, 4, 5
এতিয়া , a = 6q + 0 =  6q   
বা a = 6q +1    ,
বা    a = 6q  +  2  ,
বা   a= 6q  +  3  ,
বা   a=  6q  +  4  ,
বা   a=  6q  +  5 
ইয়াত a=6q ,  6q+2  ,  6q  +4 , 2 ৰে বিভাজ্য    য’ত  আৰু  হৈছে  ক্ৰমে  অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা  আৰু  ভাগফল  ৷ কিন্তু  2  ৰে  বিভাজ্য  সংখ্যাবোৰ  যুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা হয় ৷
গতিকে , কোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ আৰ্হি  6q +1  ,  বা 6q+3 , বা  6q + 5  আৰ্হিৰ  য’ত এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  প্ৰমাণিত
(3) 616  সদস্যৰ  এটা  সৈন্যবাহিনীৰ  গোটে  32  জনীয়া  এটা  সেনাদলৰ  পিছে  পিছে  কদম-খোজ কাঢ়ি  যাবলগীয়া  হ’ল ৷ দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  কি  হ’ব ?
সমাধান : যিহেতু,  দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  নিৰ্ণয় কৰিবলৈ  গ.সা..  উলিয়াব  লাগিব ৷
ইয়াত , 616 > 32
∴    616 =  32  ×  19  +  8 
32  =  8  ×  4  +   0 
যিহেতু , দ্ধিতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.. ( 616, 32 ) =  8
গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা   8   .
(4) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ  বৰ্গই  হয়  3m  নাইবা 3m  + 1  আৰ্হিৰ,  য’ত  m  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  [ ইংগিত  : ধৰা   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা ৷ তেন্তে  ইয়াৰ  আৰ্হি  হ’ব  3q,  3q+1   বা  3q +2  .  এতিয়া  ইহঁতৰ  প্ৰতিটোকে  বৰ্গ  কৰা  আৰু  দেখুওৱা  যে  সিহঁতক  3m  বা  3m+1  আৰ্হিত  লিখিব  পাৰি  ৷
সমাধান  :  ধৰাহ’ল ,  এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=6   
এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –
x= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   
∴   r =  0 , 1 , 2
এতিয়া  ,  x=3q +  0  =  3q 
বা x = 3q  +  1 
বা x = 3q +  2 
গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –
(x)2=  (3q)2
              = 9q2
                =   3 ( 3q2)
          = 3m  , য’ত m= 3q2
(x)2 =(3q +1)2
       = (3q)+ 2 .3q. 1. +  (1)2
   = 9q+  6q  +  1
       =   3(3q2 + 2q)  +  1
       =  3m  +  1  ,   য’ত  m =  3q2  +  1
আৰু  (x)2 = ( 3q  + 2 )2
                    =  (3q) 2 +  2. 3q  . 2  +   (2) 2
                    =  9q2  +  12 q  +  4
                    = 9q2  +  12q  +  3  +  1
                     = 3 (3q2 + 4q  + 1 ) + 1
                     =  3m  +  1   ,  য’ত  m= 3q2  + 4q  +  1
গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ  আৰ্হি 3m  , বা  3m +  1  আৰ্হিৰ  য,ত  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷
(5) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড সংখ্যাৰ  ঘনফলটো 9m  ,  9m  +  1   নাইবা  9m +  8  আৰ্হিৰ  ৷
সমাধান :     :  ধৰাহ’ল ,  এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=3   
এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –
a= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   
∴   r =  0 , 1 , 2
এতিয়া  ,  a=3q +  0  =  3q 
বা a = 3q  +  1 
বা a = 3q +  2 
গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –
(a)2=  (3q)3
              = 27q3
                =    9( 3q3)
          = 9m ,  য’ত  m = 3q3
(a)3 =(3q +1)3
       = (3q)+ 3 .(3q)2. 1. + 3. 3q .(1)2 +   (1)3
   = 27q3  +  27q2 +  9q  + 1
       =   9(3q3  + 3q + q ) + 1  
       =  9m  +  1  ,   য’ত  m =  3q3  +  3q  +  1
আৰু  (a)3 = ( 3q  + 2 )3
                    =  (3q)3 +  3. (3q)2  . 2  + 3.3q.(2)2 +  (2)3
                    =  27q3  + 54 q2   +  36q  +  8
                    = 9(3q3 + 6q2 +  4q) +  8
                     = 9m  +  8  ,  য’ত  m= 3q3 + 6q + 2q
গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  আৰ্হি 9m  ,  9m +  1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ  য,ত  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷


Post a Comment

Please don't use spam link in the comment box.

Previous Post Next Post